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综合笔记：讲座 1-3
2026 年春
1 讲座 1：集合的宇宙 ..... 3
1.1 1.1 原始概念 ..... 3
1.2 1.2 子集和包含关系 ..... 3
1.3 1.3 空集和单例集 ..... 3
1.4 1.4 有限集和基数 ..... 4
1.5 1.5 旧集生成新集（操作） ..... 5
1.6 1.6 乘积集 ..... 6
1.7 1.7 幂集 ..... 7
2 讲座 2：函数——现代数学的核心 ..... 8
2.1 2.1 直观概念与严格定义 ..... 8
| 2.2 | 2.2 所有函数的集合 |
|---|
2.3 2.3 像和原像 ..... 9
2.4 2.4 单射、满射和双射 ..... 9
2.5 2.5 函数的复合 ..... 10
2.6 2.6 恒等函数和逆函数 ..... 11
| 2.7 | 2.7 双射映射的计数 |
|---|
2.8 2.8 二元函数 ..... 12
3 讲座 3：高级映射与关系 ..... 14
3.1 3.1 规范映射 ..... 14
3.2 3.2 特征函数 ..... 14
3 3.3 置换和对称群 ..... 15
3.4 3.4 等价关系 ..... 15
3.5 3.5 通过等价关系构造有理数 ..... 16
| 3.6 | 3.6 等价类和划分 |
|---|
3.7 3.7 规范商映射 ..... 18
3.8 3.8 总结表：关键概念 ..... 18
基本理念：每一个数学对象都是一个集合。每一个集合都有元素，而这些元素本身也是集合。
我们从朴素集合论开始。我们不严格定义“集合”（以避免像罗素悖论那样的逻辑陷阱），而是将其作为一个原始概念。
$A$ 是 $B$ 的子集（$A \subseteq B$），如果 $A$ 的每一个元素都是 $B$ 的元素。
示例：对于任何集合 $X$，有 $X \subseteq X$。
为了证明两个集合相等（$A=B$），我们很少简单地“看”它们。我们玩“双重包含游戏”。我们必须证明两个独立的陈述：
如果两者都成立，那么 $A=B$。
空集 $\emptyset$ 是不含任何元素的唯一集合。
注意：$\emptyset \neq\{\emptyset\}$。后者是一个单例集，恰好包含 1 个元素。
罗素悖论与塞维利亚理发师：所有集合的聚集不是一个集合（这会导致矛盾）。如果我们朴素地定义 $R=\{x \mid x \notin x\}$（所有不包含自身的集合的集合），那么询问“$R \in R$？”会导致逻辑悖论。这就是为什么我们必须小心集合论基础的原因。
形如 $X=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}$ 的集合 $X$ 称为有限集。如果对于所有 $1 \leq i<j \leq n$，有 $x_{i} \neq x_{j}$，那么我们记作 $\#(X)=n$ 或 $|X|=n$。
我们只使用集合论来构造自然数 $\mathbb{N}=\{0,1,2,3, \ldots\}$：
通常：$n+1=n \cup\{n\}$（后继函数）。
这表明 $\mathbb{N}=\{0,1,2, \ldots\}$，并且没有“无限的元素进程”。
如果一个集合不是有限集，则称其为无限集。
基本数系：
我们可以使用标准操作从现有集合构造新集合。设 $A, B \subseteq X$。
断言：$\left(X_{1} \cap X_{2}\right) \cap Y=\left(X_{1} \cap Y\right) \cup\left(X_{2} \cap Y\right)$
等等，这实际上是错误的！正确的分配律是：
我们证明两个包含关系。
$(\subseteq)$：设 $x \in$ 左侧。则 $x \in\left(X_{1} \cup X_{2}\right)$ 且 $x \in Y$。
($\supseteq$)：设 $x \in$ 右侧。则：
我们如何讨论有序对？
给定两个集合 $X$ 和 $Y$，乘积集（或笛卡尔积）$X \times Y$ 是所有有序对的集合：
$X \times Y$ 的元素恰好是有序对（$x, y$），其第一个坐标在 $X$ 中，第二个坐标在 $Y$ 中。
缩写：$X \times X=X^{2}$
可以推广到 $n$ 元组：
关于基数的注意事项：如果 $|X|=n$ 且 $|Y|=m$，则 $|X \times Y|=n m$。
对于有限集 $X, Y$：如果 $X, Y$ 有限且 $\#(X)=n$ 和 $\#(Y)=m$，那么 $\#(X \times Y)=n \cdot m$。
设 $X=\{1,2\}$ 和 $Y=\{a, b, c\}$。则：
且 $\#(X \times Y)=2 \times 3=6$。
$X$ 的幂集，记作 $\mathcal{P}(X)$，是 $X$ 的所有可能子集的集合。
示例：如果 $X=\{1,2\}$，那么 $\mathcal{P}(X)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$。
记住：$\# \mathcal{P}(X)=2^{\#(X)}$（如果 $X$ 是有限集）。
为什么？
$\mathcal{P}(\emptyset)=\{\emptyset\}$（空集只有一个子集：它自身）
因此 $\# \mathcal{P}(\emptyset)=1=2^{0} \checkmark$
直观：函数是一个“规则”或“机器”，它接收输入并产生输出。
然而，在现代代数中，我们需要精确性。
给定两个集合 $X$ 和 $Y$，存在一个从 $X$ 到 $Y$ 的函数或映射的概念。
符号：$f: X \rightarrow Y$
通常，$f$ 是一个规则，对于每一个 $x \in X$，它会生成一个元素 $f(x) \in Y$。
那么 $f$ 的图是：
这是 $G_{f} \subseteq X \times Y$ 的一个子集，使得对于所有 $x \in X$：
替代的严格定义：一个函数 $f: X \rightarrow Y$ 就是一个满足上述两个公理的子集 $G \subseteq X \times Y$。
符号：$f(x)$ 是 $Y$ 中唯一的 $y$ 使得 $(x, y) \in G_{f}$。
事实：如果 $f_{1}, f_{2}$ 是从 $X \rightarrow Y$ 的函数，那么：
从 $X$ 到 $Y$ 的所有函数的集合表示为：
有时也写作 $\operatorname{Map}(X, Y)$ 或 $\operatorname{Hom}(X, Y)$。
如果 $X, Y$ 有限且 $\#(X)=n$ 和 $\#(Y)=m$，那么：
为什么？对于 $X$ 中的每个 $n$ 个元素，我们有 $m$ 种选择来发送它。这给出了 $m \times m \times \cdots \times m$（$n$ 次）$=m^{n}$ 个总函数。
设 $X=\{1,2\}$ 和 $Y=\{a, b, c\}$。有多少个函数 $f: X \rightarrow Y$？
答案：$\#\left(Y^{X}\right)=3^{2}=9$ 个函数。
我们可以列出它们：
设 $f: X \rightarrow Y$ 是一个函数。
函数 $f: X \rightarrow Y$ 的像是集合：
更一般地，如果 $A \subseteq X$，那么：
如果 $B \subseteq Y$， $B$ 的原像（或逆像）是：
注意：即使 $f$ 没有逆函数，$f^{-1}(B)$ 也是定义的！
这些是函数可以拥有的三个最重要的性质。
函数 $f: X \rightarrow Y$ 是单射（或一对一）的，如果不同的输入映射到不同的输出：
等价地（逆否命题）：
函数 $f: X \rightarrow Y$ 是满射（或映上）的，如果上域中的每个元素都被“击中”：
等价地：$\operatorname{Im}(f)=Y$
函数 $f: X \rightarrow Y$ 是双射（或双射映射）的，如果它既是单射又是满射。这意味着 $f$ 以完美的一一对应方式配对 $X$ 和 $Y$ 的元素。
1) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为 $f(x)=x^{2}$
2) $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ 定义为 $g(x)=x^{2}$
3) $h: \mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ 定义为 $h(x)=x^{2}$
给定 $f: X \rightarrow Y$ 和 $g: Y \rightarrow Z$，我们可以复合它们。
复合 $g \circ f: X \rightarrow Z$ 定义为：
顺序很重要！我们先应用 $f$，然后应用 $g$。（从右到左读）
性质：复合是结合的：
定理：如果 $f: X \rightarrow Y$ 和 $g: Y \rightarrow Z$ 都是单射的，那么 $g \circ f$ 是单射的。
证明：假设 $(g \circ f)\left(x_{1}\right)=(g \circ f)\left(x_{2}\right)$。
那么 $g\left(f\left(x_{1}\right)\right)=g\left(f\left(x_{2}\right)\right)$。
因为 $g$ 是单射的，这意味着 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$。
因为 $f$ 是单射的，这意味着 $x_{1}=x_{2}$。
因此 $g \circ f$ 是单射的。
定理：如果 $f: X \rightarrow Y$ 和 $g: Y \rightarrow Z$ 都是满射的，那么 $g \circ f$ 是满射的。
证明：设 $z \in Z$ 是任意的。
因为 $g$ 是满射的，存在 $y \in Y$ 使得 $g(y)=z$。
因为 $f$ 是满射的，对于这个特定的 $y$，存在 $x \in X$ 使得 $f(x)=y$。
因此 $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z$。
因此 $Z$ 中的每个 $z$ 都在 $g \circ f$ 的像中，所以 $g \circ f$ 是满射的。
推论：如果 $f$ 和 $g$ 是双射的，那么 $g \circ f$ 是双射的。
对于任何集合 $X$，恒等函数 $\operatorname{Id}_{X}: X \rightarrow X$ 定义为：
性质：对于任何 $f: X \rightarrow Y$：
设 $F: X \rightarrow Y$ 是一个函数。一个函数 $G: Y \rightarrow X$ 称为 $F$ 的逆函数，如果：
符号：如果存在逆函数，我们写 $G=F^{-1}$。
定理：函数 $F: X \rightarrow Y$ 是双射的当且仅当存在一个逆函数 $G: Y \rightarrow X$。
证明（$\Rightarrow$）：假设 $F$ 是双射的。我们构造 $G$。
对于每个 $y \in Y$，由于 $F$ 是满射的，存在至少一个 $x \in X$ 使得 $F(x)=y$。
由于 $F$ 是单射的，这个 $x$ 是唯一的。
定义 $G(y)=$ 这个唯一的 $x$。
那么 $F(G(y))=F(x)=y$，所以 $F \circ G=\operatorname{Id}_{Y}$。
并且 $G(F(x))=G(y)=x$，所以 $G \circ F=\operatorname{Id}_{X}$。
证明（$\Leftarrow$）：假设存在 $G$ 使得 $F \circ G=\operatorname{Id}_{Y}$ 和 $G \circ F=\operatorname{Id}_{X}$。
单射：假设 $F\left(x_{1}\right)=F\left(x_{2}\right)$。对两边应用 $G$：
满射：对于任何 $y \in Y$，设 $x=G(y)$。那么：
所以 $F$ 是双射的。
问题：如果 $X=\{1,2, \ldots, n\}$，有多少个双射 $f: X \rightarrow X$？
我们想计数双射映射 $f:\{1,2, \ldots, n\} \rightarrow\{1,2, \ldots, n\}$。
答案：$n!$（$n$ 的阶乘）
通过计数选择的证明：
总计：$n \times(n-1) \times(n-2) \times \cdots \times 2 \times 1=n!$
假设我有 3 个集合 $X, Y, Z$。
一个二元函数是一个函数 $f: X \times Y \rightarrow Z$。
这只是一个从乘积集出发的函数！
例如，二元函数 $f(x, y)$ 只是一个函数：
加法：$+: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ 定义为 $(m, n) \mapsto m+n$。
当我们有集合 $X, Y$ 并给定一个函数 $f: X \rightarrow Y$ 时，我们可以构造一个自然的“规范”映射。
给定一个函数 $f: X \rightarrow Y$，定义：
通过
这会将每个 $x$ 发送到包含其像的单例集$\{f(x)\}$
反之：给定一个函数 $g: X \rightarrow \mathcal{P}(Y)$，假设对于所有 $x$ 有 $\#(g(x))=1$（即，$g$ 总是输出单例集）。
那么我们可以从 $g$ 恢复一个函数 $f: X \rightarrow Y$。
我们可以将幂集 $\mathcal{P}(X)$ 与二元函数集合 $\{0,1\}^{X}$ 关联起来。
定义：对于任何子集 $A \subseteq X$，特征函数 $\chi_{A}: X \rightarrow\{0,1\}$ 是：
双射：存在一个自然的双射 $\Psi: \mathcal{P}(X) \longrightarrow\{0,1\}^{X}$，由：
逆映射将一个函数 $f: X \rightarrow\{0,1\}$ 映射到其支持：
结论：$|\mathcal{P}(X)|=\left|\{0,1\}^{X}\right|=2^{|X|}$。
这给我们提供了另一个证明，如果 $\#(X)=n$，那么 $\#(\mathcal{P}(X))=2^{n}$！
$X$ 上的置换是一个双射映射 $\sigma: X \rightarrow X$。
所有置换的集合记作 $S_{X}$（$X$ 上的对称群）。
总的来说，这些点表明 $S_{X}$ 与复合律构成一个群！
基数：如果 $|X|=n$，那么 $\left|S_{X}\right|=n!$
如果 $X=\{1,2\}$，那么 $S_{X}$ 有 2 个元素：
所以 $\left|S_{\{1,2\}}\right|=2!=2$。
关系是“相等”或“相同”概念的推广。
集合 $X$ 上的关系是一个子集 $R \subseteq X \times X$。
我们写 $x \sim y$ 如果 $(x, y) \in R$。
集合 $X$ 上的关系 $\sim$ 是等价关系，如果它满足三个公理：
任何集合上的关系 $=$ 是一个等价关系。
示例 2：模 $n$ 同余
在 $\mathbb{Z}$ 上，定义 $a \sim b$ 如果 $n \mid(a-b)$（即 $a \equiv b(\bmod n)$）。
断言：这是一个等价关系。
证明：
相加：$a-c=n(k+\ell)$，所以 $a \sim c \checkmark$
这是一个漂亮的应用程序：我们可以使用等价关系从 $\mathbb{Z}$ 构造 $\mathbb{Q}$！
设置：设 $X=\mathbb{Z} \times(\mathbb{Z} \backslash\{0\})$（整数对，其中第二个非零）。
定义一个关系：$(a, b) \sim(c, d)$ 当且仅当 $a d=b c$。
（思考：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$）
我们验证这三个公理：
1) 自反性：是 $(a, b) \sim(a, b)$ 吗？
检验：$a b=b a \checkmark$（交换律）
2) 对称性：如果 $(a, b) \sim(c, d)$，是 $(c, d) \sim(a, b)$ 吗？
已知：$a d=b c$
想要：$c b=d a$
但是 $c b=b c=a d=d a \checkmark$
3) 传递性：如果 $(a, b) \sim(c, d)$ 且 $(c, d) \sim(e, f)$，是 $(a, b) \sim(e, f)$ 吗？
已知：
想要：$a f=b e$
从 (1)：$a d f=b c f$
从 (2)：$b c f=b d e$
因此：$a d f=b d e$
由于 $d \neq 0$，我们可以消去：$a f=b e \checkmark$
有理数：我们定义 $\mathbb{Q}=X / \sim$（等价类的集合）。
每个等价类 $[(a, b)]$ 代表有理数 $\frac{a}{b}$。
给定集合 $X$ 上的等价关系 $\sim$ 和元素 $x \in X$， $x$ 的等价类是：
注意：如果 $y \in[x]$，那么 $[y]=[x]$（同一个类的代表）。
所有等价类的集合表示为：
（读作“$X \bmod \sim$”或“$X$ 模 $\sim$”）
关键事实：等价类将 $X$ 划分为不相交的子集。
$X$ 的划分是非空、两两不相交的子集的集合，这些子集的并集是 $X$。
定理：$X$ 上的等价关系与 $X$ 的划分一一对应。
给定集合 $X$ 上的等价关系 $\sim$，我们有一个自然函数：
规范商映射（或投影）是：
定义为 $x \mapsto[x]$。
| 概念 | 符号 | 关键性质 |
|---|---|---|
| 单射 | $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) \Rightarrow x_{1}=x_{2}$ | 一对一 |
| 满射 | $\forall y \in Y, \exists x: f(x)=y$ | 映上 |
| 双射 | 单射 + 满射 | 可逆 |
| 复合 | $(g \circ f)(x)=g(f(x))$ | 结合性 |
| 恒等 | $\mathrm{Id}_{X}(x)=x$ | $f \circ \mathrm{Id}=f$ |
| 逆函数 | $f \circ f^{-1}=\mathrm{Id}$ | 仅适用于双射 |
| 置换 | $\sigma: X \rightarrow X$ 双射 | $S_{X}$ 的元素 |
| 等价关系 | 自反性、对称性、传递性 | 创建划分 |
| 商集 | $X / \sim$ | 等价类的集合 |
悖论：考虑所有不包含自身的集合的“集合”：
问题：$R \in R$ 吗？
解决方法：“所有集合的聚集”本身不是一个集合。我们需要公理集合论（ZFC）来避免此类悖论。
对于有限集：$|X|=n$ 意味着 $X$ 恰好有 $n$ 个元素。
对于无限集：如果存在双射 $f: X \rightarrow Y$，我们说 $|X|=|Y|$。
令人惊讶的事实：$|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Q}|$（都是可数无限的）
但是 $|\mathbb{R}|>|\mathbb{N}|$（不可数无限的）——由康托尔对角线论证证明。
康托尔定理：对于任何集合 $X$，$|X|<|\mathcal{P}(X)|$。
这意味着无限有无限多种“大小”！